5、基于懒抽象的控制器综合

基于懒抽象的控制器综合

1. 控制器综合概述

在控制器综合中，对于特定抽象层 $l$，最大可能的控制器域总是存在且唯一。我们的目标是计算一个合理的控制器 $C \in C(\hat{S}, \psi)$，其相对于最低层 $l = 1$ 具有最大域。对于任何合理的层 1 控制器 $\hat{C} = (\hat{D}, U, \hat{G}) \in C(\hat{S}_1, \psi)$，$\hat{D}$ 必须包含在 $C$ 的有效域到层 1 的投影 $D_1 = \hat{Q}_1(D)$ 中，这样的控制器 $C$ 被称为相对于层 1 是完备的。为了实现更快的计算，我们确保仅在需要时细化控制器域内的单元。

抽象多层控制器 $C \in C(\hat{S}, \psi)$ 的综合主要有三个要素：
1. 使用反应式综合中的固定点算法来计算最大的获胜状态集，并推导出抽象控制器。
2. 在固定点计算过程中，通过将中间结果保存到最低层并重新加载，实现抽象层之间的切换。
3. 使用前沿（frontiers）来惰性地计算抽象，仅在固定点算法当前探索的状态空间部分计算抽象转换。

2. 单层 ABCS 的固定点算法

2.1 安全控制

对于有限抽象系统 $\hat{S}(\Sigma, \tau, \eta) = (\hat{X}, \hat{U}, \hat{F})$ 的安全控制问题 $(\hat{S}, \psi_{safe})$，关键是可控前驱运算符 $CPre_{\hat{S}} : 2^{\hat{X}} \to 2^{\hat{X}}$，定义为：
[CPre_{\hat{S}}(\Upsilon)