26、利用神经网络预测氧浓度：从模型到实践

利用神经网络预测氧浓度：从模型到实践

1. 数学模型

首先，我们来看一个可用于确定氧浓度的数学模型。这个模型能让我们了解其复杂性，同时也会用于生成训练数据集。

描述相位θ与氧浓度O₂关系的简单模型公式如下：
[
\frac{\tan\theta(\omega, T, O_2)}{\tan\theta(\omega, T, O_2 = 0)} = \frac{f(\omega, T)}{1 + K_{SV1}(\omega, T) \times O_2} + \frac{1 - f(\omega, T)}{1 + K_{SV2}(\omega, T) \times O_2}
]
其中，$f(\omega, T)$、$K_{SV1}(\omega, T)$ 和 $K_{SV2}(\omega, T)$ 是参数，其解析形式未知，且与所使用的染料分子、传感器的构建方式等因素有关。我们的目标是在实验室中训练一个神经网络，然后将其部署到可在实际场景中使用的传感器上。主要问题在于确定 $f$、$K_{SV1}$ 和 $K_{SV2}$ 与频率和温度相关的函数形式。商业传感器通常依赖多项式或指数近似，并通过拟合程序来确定这些参数的近似值。

2. 回归问题示例

为了更好地理解后续复杂的数据集准备过程，我们先来看一个简单的回归问题。

给定一个带有参数 $A$ 的函数 $L(x)$，我们希望训练一个神经网络从函数的一组值中提取参数 $A$。以洛伦兹函数为例：
[
L(x) = \frac{A^2}{A^2 + x^2}
]
该函数在 $x = 0$ 处有最大值，且 $L(0) =