28、重塑：旋律塑形变换

重塑：旋律塑形变换

1. 引言

音乐旋律的形状一直是音乐创作和分析中引人入胜的元素。以莫扎特D大调钢琴奏鸣曲中的旋律为例，有些旋律线条优美流畅，如一条平滑的曲线；而有些则较为曲折，由许多直线段和尖锐的峰谷组成。

我们可以将这些旋律的形状提取出来，绘制在时间 - 音高的坐标轴上，直观地展现旋律的走势。这种对旋律形状的观察并非新鲜事物，但它持续为音乐创作带来灵感。与将乐谱转化为形状不同，我们的目标是利用形状作为一种创作工具，通过对一组音符施加特定形状来修改旋律。

2. 塑形函数模型

2.1 塑形函数

我们考虑单变量函数 (f: X \to Y)，将定义域 (X) 中的值映射到值域 (Y) 中的值。对于定义域 (X) 中的每个 (x)，函数 (f) 都将其映射到值域 (Y) 中唯一的 (y)，即 (f(x) = y)。

在音乐领域，我们关注一类包含常见且有趣曲线的单变量函数，例如：
- (y = x^2 + 15x - 32)
- (y = \sin(x + 0.3482))

为了将这些函数应用于音乐，我们规定其定义域为全音符时间，这样函数的定义域就能包含旋律或乐谱中每个音符的位置。值域则为实数。我们将这类函数称为塑形函数。

塑形函数的值域可以是任意实值线性区间，如 ([0…1]) 或 ([-1…10])。这些函数可以用图形表示，其中 (X) 轴表示全音符时间，(Y) 轴表示函数值。例如，抛物线 (y = -x^2 + 2x) 或由线段组成的分段线性图形。

2.2 音高范围解释器

目前，塑形函数的值域并非基于音高，而