5、复变函数中的积分与保角映射

复变函数中的积分与保角映射

在复变函数的研究中，积分和保角映射是两个重要的概念。积分在处理各种复杂的函数和问题时起着关键作用，而保角映射则为解决二维拉普拉斯微分方程提供了强大的工具。

1. 积分相关内容

1.1 柯西主值积分

传统的实变量函数积分定义假设函数在积分区间内每一点都有确定的有限值。但当函数在区间内有限个点处趋于无穷时，需要对积分定义进行扩展。

考虑函数 (f(x)) 在区间 ([a,b]) 内只有一个点 (c) 处趋于无穷的情况。若 (c) 不是区间端点，取两个小正数 (\epsilon) 和 (\eta)，考察表达式 (\int_{a}^{c - \epsilon} f(x) dx + \int_{c + \eta}^{b} f(x) dx)。
- 若当 (\epsilon) 和 (\eta) 独立趋于零时，该表达式存在且趋于唯一极限，则称 (f(x)) 在区间 ([a,b]) 上的反常积分存在，其值定义为 (\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim_{\epsilon \to 0} \int_{a}^{c - \epsilon} f(x) dx + \lim_{\eta \to 0} \int_{c + \eta}^{b} f(x) dx)。
- 若当 (\epsilon) 和 (\eta) 独立趋于零时，表达式不趋于极限，但 (\lim_{\epsilon \to 0} (\int_{a}^{c - \epsilon} f(x) dx + \int_{c + \epsilon}^{b} f(x) dx)) 存在，则称该极限为反常积分的柯西主值，记为 (PV \int_{a}^{b} f(x) dx)。 <