4、气候数据处理与经验正交函数分析

气候数据处理与经验正交函数分析

1. 数据设置

在气候数据分析中，我们常常会处理多个时间序列数据。假设有两个时间序列，分别为 (x_1, x_2, \cdots, x_n) 和 (y_1, y_2, \cdots, y_n)，它们分别是随机变量 (X) 和 (Y) 的实现，(X) 的均值为 (\mu_X)，方差为 (\sigma_X^2)，(Y) 的均值为 (\mu_Y)，方差为 (\sigma_Y^2)。

这两个时间序列的样本协方差 (c_{xy}) 由以下公式给出：
[c_{xy} = \frac{1}{n - 1} \sum_{k = 1}^{n} (x_k - \bar{x})(y_k - \bar{y})]
样本相关系数 (r_{xy}) 是对应缩放时间序列的协方差，即：
[r_{xy} = \frac{c_{xy}}{s_x s_y}]
其中，相关系数满足 (-1 \leq r_{xy} \leq 1)。

如果两个时间序列已排序，那么秩相关系数 (\rho_{xy})（也称为斯皮尔曼秩相关系数）可以通过对应时间序列的秩而不是实际值的普通（或乘积矩）相关来获得。它也可以使用两个样本时间序列的秩之间的差异 (d_t)（(t = 1, \cdots, n)）来计算：
[\rho_r = 1 - \frac{6}{n(n^2 - 1)} \sum_{t = 1}^{n} d_t^2]

在气候分析中，许多方法采用矩阵形式，这是多元分析的核心。一个给定的时空场，如海平面压力，由多元时间序列组成，每个时间序列代表场 (X) 在给定空间位置（如网格点 (s)）在不同时间 (t) 的值，记为 (X(s, t))。空间