22、环境数据的无监督分析：因子、经验正交函数与聚类

环境数据的无监督分析：因子、经验正交函数与聚类

在环境数据的分析领域，因子分析、经验正交函数（EOF）以及聚类分析是非常重要的无监督分析方法。这些方法能够帮助我们从海量的数据中发现潜在的模式和规律。

1. 样本与因子分析基础

样本通常以列向量的形式呈现，比如一个样本 $s(i)$ 就是一组按列向量格式排列的数字。虽然烷烃数据集具有一维的组织形式，使得使用列向量很自然，但因子分析方法并不要求数据必须是一维组织的。样本可以具有二维或三维网格的自然组织形式，在应用因子分析方法时，只需将这些网格重新排列（“展开”）成列向量即可。

2. 案例研究：赤道太平洋海表温度数据集的 EOF 分析

2.1 数据获取与描述

赤道太平洋海表温度数据集是一个典型的例子。该数据集来自国际气候与社会研究所（IRI）数据图书馆的 CAC 平滑海表温度异常数据集。它是赤道太平洋某区域海表温度的二维网格时间序列，时间跨度从 1970 年 1 月到 2003 年 3 月，涵盖了太平洋特定区域（南纬 29° 到北纬 29°，东经 124° 到西经 70°，网格间距为 2°）每月的海表温度相对于该区域平均值的偏差。

2.2 数据结构与 EOF 分析

该数据集包含 399 个月度图像，每个图像有 2520 个网格点（经度 84 个，纬度 30 个）。在分析中，我们使用代表空间模式的因子和代表时间变化的载荷。样本矩阵 $S$ 有 399 行和 2520 列，每个因子（即经验正交函数，EOF）是一个长度为 2520 的向量，可折叠成 84×30 的温度值网格。

虽然总共有 399 个 EOF，但许多 EOF 的奇异值