(刷题笔记) Leetcode 279. 完全平方数

题目

给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, …）使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。

示例 1:

输入: n = 12
输出: 3
解释: 12 = 4 + 4 + 4.

示例 2:

输入: n = 13
输出: 2
解释: 13 = 4 + 9.

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/perfect-squares

解题思路

写了这么多道广度优先搜索和动态规划，还是写不出来这样的题目，这数学思路更加是降维打击

动态规划思路：
dp[i]里存储的是值为i的数最少需要几个完全平方数
起始条件：dp[0]=0;
转移关系：第i个数的最少完全平方数，是i减去一个完全平方数之后的那个值需要的最少数+1，也就是dp[i]=min(dp[i-j*j])+1,这个j在变动，也就变成了代码里的写法。

层序遍历思路
把数据拆成不同的层，最先让数据拆完的层就是最少的个数。

数学思路
数学定理证明每个自然数都可以表示为四个数的平方和。所以这道题目可以返回的值只有4，3，2，1这四种。
然后不同的返回值有不同的公式得出来，具体见代码。

代码(C++)

动态规划

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {

        vector<int> dp(n+1,INT_MAX);

        dp[0]=0;

        for(int i=1;i<=n;++i){

            for(int j=1;j*j<=i;++j){

                dp[i]=min(dp[i],1+dp[i-j*j]);
            }
        }
        
        return dp[n];
        

    }
};

BFS

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {

        queue<pair<int,int>> q;
        q.push(make_pair(n,0));

        vector<bool> visited(n+1,false);
        visited[n]=true;

        while(!q.empty()){

            int num=q.front().first;
            int step=q.front().second;
            q.pop();

            for(int i=1;num-i*i>=0;++i){
                int a=num-i*i;
                if(a<0) break;
                if(a==0) return step+1;
                if(!visited[a]){
                    q.push(make_pair(a,step+1));
                    visited[a]=true;
                }
            }
        }

        return 0;

    }
};

数学

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {


        int x=n;
        while(n%4==0) n/=4;
        if(n%8==7) return 4;

        for(int i=0;i*i<=x;++i){

            int j=pow(x-i*i,0.5);
            if(x==i*i+j*j){
                if(i==0||j==0){
                    return 1;
                }
                else{
                    return 2;
                }
            }  
        }

        return 3;
    }
};