12、利用 MATLAB 进行多重积分计算及数值积分算法解析

利用 MATLAB 进行多重积分计算及数值积分算法解析

1. 自动化与积分

在数学学习与应用中，学生既要掌握传统积分方法，也要学会使用如 MATLAB 这类技术工具。掌握基本算术规则是有效使用计算器的前提，同理，掌握代数和微积分的基本规则是熟练运用 MATLAB 的基础。如果不理解基本概念和方法，就无法真正理解数学软件系统的输出结果，只能进行无意义的符号操作。

1.1 MATLAB 计算多重积分

MATLAB 已实现多重积分计算的自动化。若 $f_1$ 和 $f_2$ 是 $x$ 的符号函数，$g$ 是 $x$ 和 $y$ 的符号函数，计算二重积分 $\int_{a}^{b}\int_{f_1(x)}^{f_2(x)} g(x, y) dy dx$，只需输入以下命令：

>> int(int(g(x, y), y, f_1(x), f_2(x)), x, a, b)
ans =
int(int(g(x, y), y, f_1(x), f_2(x)), x, a, b)

不过，关键在于如何将复杂区域用简单边界描述，这才是计算的难点。

1.2 平面区域问题

以计算曲线 $y = \sin(x + 1)$ 和 $y = x^3 - 3x + 1$ 之间的面积为例：
1. 定义函数并绘图

>> f = @(x) sin(x + 1); g = @(x) x.^3 - 3*x