66、传感器与信息空间解读

传感器与信息空间解读

1. 历史信息空间的定义

历史信息空间（history I - space）是通过对不同阶段信息空间取并集得到的。如果有 $K$ 个阶段，历史信息空间可表示为：
$I_{hist} = I_0 ∪ I_1 ∪ I_2 ∪ · · · ∪ I_K$ (11.18)

大多数情况下，阶段数不是固定的。此时，$I_{hist}$ 被定义为所有 $k \in {0} ∪ N$ 的 $I_k$ 的并集：
$I_{hist} = I_0 ∪ I_1 ∪ I_2 ∪ · · ·$ (11.19)

这个构造与随时间变化的运动规划中的状态空间相关。历史信息空间是与阶段相关的，因为信息会随时间积累。在离散模型中，时间仅通过阶段的使用隐式体现。阶段索引 $k$ 可以想象成历史信息空间的一个“轴”。

历史信息空间的一个直接问题是其 I - 状态可能会任意长，因为历史会随着阶段数线性增长。目前，将 $I_{hist}$ 抽象地想象成另一种状态空间是有帮助的，暂时不用太关注每个 $\eta \in I_{hist}$ 表示起来有多复杂。

2. 规划问题的定义

规划问题将直接在历史信息空间上定义，这在很多方面使它看起来像一个普通的状态空间。但要记住，它是从一个无法获得完美状态观测的状态空间推导而来的。

在之前的定义中，反馈计划是状态的函数，而这里反馈计划是 I - 状态的函数。因为在计划执行期间状态通常是未知的，所以决策不能基于状态，而 I - 状态总是已知的，因此基于它来做决策是合理的。

设 $\pi_K$ 表示一个 $K$ 步信息反馈计划，它是 $K$ 个函数的序