49、运动规划与反馈规划的深入解析

运动规划与反馈规划的深入解析

1. 插值与连续动作空间

在运动规划中，重心细分法可以将每个立方体划分为单纯形，这样插值操作的时间复杂度能从 $O(2^n)$ 降低到 $O(n \lg n)$。插值区域 $R(S)$ 对于一组采样点 $S$ 而言，当且仅当 $x$ 的所有插值邻居都在 $S$ 中时，$x \in R(S)$。若使用采样网格来近似 $G^*$，随着采样分辨率的提高，$X \setminus R(S)$ 的体积会趋近于零。

当动作空间 $U(x)$ 为连续空间时，动态规划递推式（8.56）保持不变，但此时最小化操作面临着不可数无限选择的优化问题。解决方法有两种：
- 非线性优化技术 ：选择最优的 $u \in U(x)$，但其效果严重依赖于 $U(x)$、$X$ 和成本函数。
- 采样评估 ：从 $U(x)$ 中抽取有限样本集来评估（8.56），最好选择能最大程度降低离散度的样本。在某些情况下，可通过利用成本 - 到 - 目标函数的性质及其插值表示来排除部分动作。

2. 反馈运动规划的关键要素

要使用值迭代法解决运动规划问题，需考虑以下几个关键方面：
|序号|关键要素|具体内容|
| ---- | ---- | ---- |
|1|动作空间有界|为了用有限样本集近似 $U(x)$，需对其进行限制，可将动作集限制为 $U(x) = {u \in R^n | |u| \leq 1}$。为提高性能，有时可仅使用 $|u| = 1$ 或 $u = 0$ 的 $u$，但可能会出现数值不稳定问题。有限样本集应具有低离散度且包含 $u