33、运动规划与计算代数几何：理论与算法

运动规划与计算代数几何：理论与算法

运动规划中的雷达图与单元分解

雷达图的特性与临界变化

雷达图在运动规划中起着关键作用，其特性可通过指定循环顺序来表征。当机器人在二维平面 (R^2) 中移动时，雷达图会发生变化。若 (x) 增加到一定程度，机器人无法到达 (v_1)，雷达图会出现临界变化。同样，在图 6.23 所示位置沿正 (y) 方向移动时，剩余的黑色带会收缩，当与 (e_3) 的距离超过机器人长度时消失，这也是一种临界变化。

雷达图的循环顺序表示为 (([f_1, f_2], [f_3, f_4], [f_5, f_6], \ldots, [f_{2k - 1}, f_{2k}]))，其中 (f_i) 可以是边或顶点。存在两种退化情况：若对于所有 (\theta \in [0, 2\pi))，((x, y, \theta) \in C_{free})，则顺序记为 (())；若对于所有 (\theta \in [0, 2\pi))，((x, y, \theta) \in C_{obs})，则记为 (\varnothing)。

单元分解与临界曲线

单元分解的目标是将 (R^2) 划分为最大的二维单元（2 - 单元），在这些单元上不会发生临界变化。每个 2 - 单元 (R) 代表 (C_{free}) 中一条三维单元（3 - 单元）带的投影。3 - 单元定义为 ({R, [f_i, f_{i + 1}]})，表示 ((x, y) \in R) 且 (\theta) 使线段处于接触 (f_i) 和 (f_{i + 1}) 之间的三维区域。

导致临界变化的位置有五种情况，每种情况都会在 (R^2) 中产生一组临界曲线