52、公民社会成本与利他博弈的无政府状态鲁棒价格

公民社会成本与利他博弈的无政府状态鲁棒价格

在博弈论的研究中，公民社会成本（Price of Civil Society，PoCS）和利他博弈的无政府状态鲁棒价格（Robust Price of Anarchy）是两个重要的概念，它们分别从不同角度揭示了博弈中均衡的效率问题。

公民社会成本

公民社会成本主要研究在考虑社会网络影响下，博弈均衡的效率损失。

基本概念与相关公式

• 对于给定的负载向量 (L = (\ell_1, \cdots, \ell_m))，定义 (\varPhi_m(L) = \frac{\sum_{i} \ell_i^2}{(\sum_{i} \ell_i)^2/m})。这个量是负载 (L) 的社会成本与“分数”纳什均衡（所有负载相同，即使该值不是整数）的社会成本之比，是该实例公民社会成本的上界。
• 对于给定的机器 (i) 以及边界 (0 \leq a \leq b)，在 (a \leq \ell_i \leq b) 的条件下最大化 (\varPhi_m(L))，最大值将在 (\ell_i = a) 或 (\ell_i = b) 处取得。这是因为 (\varPhi_m(L)) 对 (\ell_i) 不是一般的凸函数，但在 (\ell_i \geq 0) 时连续可微，导数在唯一的点 (x_i = \frac{\sum_{j\neq i} \ell_j^2}{\sum_{j\neq i} \ell_j}) 处为零，在 (0 \leq \ell_i < x_i) 时导数为负，在 (\ell_i > x_i) 时导数为正。

原子博弈

原子博弈中