38、不可分割物品存在下的最坏情况分配问题研究

不可分割物品存在下的最坏情况分配问题研究

1. 引言

公平分配问题一直是众多科学领域关注的焦点，涵盖数学、经济学和政治学等。自Steinhaus、Banach和Knaster首次正式处理该问题以来，涌现出许多具有挑战性的问题，并形成了大量相关文献。近年来，由于这些问题大多具有算法性质，在计算机科学领域也备受关注。

公平分配问题的目标是将一组物品分配给一组n个代理人，使每个代理人都满意。在连续情况下，资源通常用区间[0, 1]表示，此时比例分配总是存在的，即每个代理人获得的物品束价值至少为1/n。但在离散情况下，物品是不可分割的，比例分配不一定存在。例如，两个代理人对某一物品的价值评估都很高，那么任何分配都会使其中一人不满。因此，我们关注的是在不可分割物品的情况下，找到具有最坏情况保证的分配方案，特别是该问题的算法和机制设计方面。

2. 相关工作与贡献

考虑一组不可分割的物品和一组具有加性估值的n个代理人。由于不可分割物品的比例分配并不总是存在，自然会思考能否为每个代理人的价值提供一个下限。Hill在其研究中给出了这样一个明确的保证。具体而言，定义了一个函数Vn(·)，当物品的最大价值至多为α时，总是存在一种分配方案，使得每个代理人获得的物品束价值至少为Vn(α)。显然，当α较大时，Vn(α)可能为0；但对于较小的α值，这是一个积极的结果，表明可以实现相对公平的解决方案。

然而，Hill的研究并未给出找到这种分配方案的高效算法，其证明基于组合论证，最终导致指数级算法。因此，我们首先研究如何高效地生成满足Vn(α)界限的分配方案。在第3节中，我们的主要成果如下：
- 对Hill的保证进行了轻微加强，使得每个代理人可以获得价值至少为