31、计算最优相关均衡的通用框架

计算最优相关均衡的通用框架

1. 粗偏差调整的社会福利问题

对于最优社会福利CCE问题，我们可以构建对偶问题：
- 对偶问题 ：
- 目标：$\min t$
- 约束条件：
- $C^T y + w \leq t1$
- $y \geq 0$

我们将$y$的$(p, j)$元素标记为$y_p^j$。给定一个博弈和向量$y \in \prod_{p} |S_p|$（其中$y \geq 0$），玩家$p$在纯策略组合$s$下的粗偏差调整效用为$\tilde{u} p^s(y) = u_p^s + \sum {j\in S_p} y_p^j (u_p^s - u_p^{js_{-p}})$。粗偏差调整的社会福利为$\tilde{w} s(y) = \sum {p} \tilde{u}_p^s(y)$。

命题2 ：如果对于一个博弈表示，粗偏差调整的社会福利问题可以在多项式时间内求解，那么对于该表示，计算最大社会福利CCE的问题也可以在多项式时间内解决。

粗偏差调整的社会福利问题可以归结为偏差调整的社会福利问题。对于粗偏差调整的社会福利问题的输入向量$y$，我们可以为偏差调整的社会福利问题构造输入向量$y’ \in \mathbb{R}^N$，其中对于所有$p \in N$和$i, j \in S_p$，有$y’_p^{ij} = y_p^j$。

2. 特定表示的偏差调整社会福利问题

在不同的表示下，偏差调整的社会福利问题并不总是能在多项式时间内求解。对于许多