8、动态系统基础与数学背景解析

动态系统基础与数学背景解析

1. 动态系统概述

动态系统在自然界中广泛存在，像生物系统等，它们会受到外部输入的作用，具备内部记忆功能，其行为可通过随时间发展的活动概念来描述。系统的概念在20世纪初由Alfred North Whitehead和L. von Bertalanffy进行了形式化定义，这里将系统视为与环境不同的实体，其与环境的交互可通过输入和输出信号来表征。

2. 连续时间系统

连续时间系统可以用状态空间形式的非线性常微分方程来描述：
[
\begin{cases}
\dot{x} = F(x, u) \
y = H(x, u)
\end{cases}
]
其中，(x(t) \in \mathbb{R}^n)是内部状态向量，(u(t) \in \mathbb{R}^m)是控制输入，(y(t) \in \mathbb{R}^p)是测量的系统输出，(\dot{x})表示对时间(t)的微分。第一个方程（状态方程）体现了系统的动态部分，(n)个积分器蕴含着记忆功能，它可从系统的物理原理，如利用拉格朗日或哈密顿动力学推导得出；第二个方程（输出或测量方程）表示我们对系统变量的测量方式，这取决于传感器的类型和可用性。该状态方程能描述多种动态行为，涵盖机械和电气系统、地球大气动力学、行星轨道动力学、飞机系统、人口增长动力学以及混沌行为等。

2.1 Brunovsky标准型

当(x = [x_1 x_2 \cdots x_n]^T)时，一类特殊的非线性连续时间动态系统由Brunovsky标准型给出：
[
\begin{cases}
\dot