17、分布式线性二次控制：理论、设计与应用

分布式线性二次控制：理论、设计与应用

1. 离散时间半稳定性与最优控制设计

在离散时间系统中，对于离散时间半稳定的矩阵 $\tilde{A}$，存在一个 $n×n$ 的正定矩阵 $\hat{P}$ 满足特定的方程。具体来说，有 $\text{vec} \hat{P} = (\tilde{A} \otimes\tilde{A})^T\text{vec} \hat{P} + \text{vec}((I_{nq} -\tilde{A})^k)^T \tilde{R}(I_{nq} -\tilde{A})^k$，即 $[I_{n^2q^2} -(\tilde{A} \otimes\tilde{A})^T]\text{vec} \hat{P} = \text{vec}((I_{nq} -\tilde{A})^k)^T \tilde{R}(I_{nq} -\tilde{A})^k$。

通过一系列推导，我们可以得到 $\hat{P}$ 的表达式：
$\hat{P} = \sum_{i=0}^{\infty} (\tilde{A}^i)^T((I_{nq} -\tilde{A})^k)^T \tilde{R}(I_{nq} -\tilde{A})^k \tilde{A}^i + \text{vec}^{-1}(z)$
其中 $z$ 满足 $z \in N[I_{n^2q^2} -(\tilde{A} \otimes\tilde{A})^T]$ 且 $\text{vec}^{-1}(z) = (\text{vec}^{-1}(z))^T \geq0$。

1.1 控制设计

我们可以将原始的最优控制问题 $P1$ 转化为一个等价的优化问题。考虑离散时间线性动