8、贝雷津量化理论及其在伪厄米对称空间中的应用

贝雷津量化理论及其在伪厄米对称空间中的应用

1. 贝雷津量化基础

贝雷津提出的量化概念包含两个主要步骤：

步骤一：构建关联代数

构建一个依赖于参数 (h > 0)（普朗克常数）的关联代数族 (\mathcal{A} h)，该代数族需满足以下条件：
- 条件 (a) ：(\lim {h \to 0} A_1 * A_2 = A_1A_2)，即当 (h) 趋近于 0 时，代数中的乘法趋近于逐点乘法。
- 条件 (b) ：(\lim_{h \to 0} \frac{i}{h}(A_1 * A_2 - A_2 * A_1) = {A_1, A_2})，其中 ({A_1, A_2}) 是泊松括号，这两个条件合称为对应原理（CP）。
- 条件 (c) ：函数 (A_0 \equiv 1) 是每个代数 (\mathcal{A}_h) 的单位元。
- 条件 (d) ：复共轭 (A \mapsto \overline{A}) 是任何 (\mathcal{A}_h) 的反自同构。

步骤二：构建代数表示

构建代数 (\mathcal{A}_h) 在希尔伯特空间中的算子表示 (A \mapsto \hat{A})。

在贝雷津主要考虑的情况中，(M) 是一个厄米对称空间 (G/K)，具有复结构。此时，相关函数 (A(z, \overline{z})) 在 (z) 和 (\overline{z}) 上分别解析，复共轭相当于