2、费利克斯·亚历山德罗维奇·别列津的科研贡献

费利克斯·亚历山德罗维奇·别列津的科研贡献

1. 引言
   费利克斯·亚历山德罗维奇·别列津（F.A. Berezin）在数学物理、量子化、无限维分析、无限维群以及超数学等领域有着卓越的贡献。尽管他英年早逝，但在2011年本应迎来80岁诞辰。本文旨在对他的重要工作进行综述，重点聚焦于表示理论、量子化和超数学这三个主题。

2. 半单李群上的拉普拉斯算子

   • 别列津的博士论文：复半单李群的特征标与不可约表示的分类
     • 研究背景 ：20世纪50年代，别列津投身于经典表示理论研究，当时该领域尚属新兴。伊·米·盖尔范德（I.M. Gelfand）和马·阿·奈马克（M.A. Naimark）在其著作中提出了构造半单群表示的技术（抛物诱导和主系列），而哈里什 - 钱德拉（Harish - Chandra）在1953年证明了“子商定理”，即每个不可约表示都是主系列（通常是非酉的）表示的子商。
     • 拉普拉斯算子的径向部分 ：考虑复半单（或约化）李群$G$、其最大紧子群$K$以及对称空间$G/K$。例如，当$G = GL(n, \mathbb{C})$时，$K = U(n)$，$G/K$是$n$阶正定矩阵的空间。拉普拉斯算子是$G$ - 不变的偏微分算子，将其限制在$K$ - 不变函数空间上，别列津明确描述了$G/K$上拉普拉斯算子的径向部分。在适当的坐标$t_1, \cdots, t_n$下，每个径向部分具有形式：