23、平面位移平均计算与连续体机构设计

平面位移平均计算与连续体机构设计

1. 引言

在放射治疗中，精确瞄准辐射束以杀死癌细胞至关重要。然而，机器对准、患者定位和器官移动存在不确定性。患者计划体积（PTV）的估计不仅要考虑临床靶体积（CTV），还要考虑这些不确定性的适当边界。CT 扫描通过一系列数字堆叠的横截面图像创建患者的三维图像，这些切片中的不确定性或误差可以部分通过平面位移来捕捉。对这些运动学误差进行统计分析，以获得平均位移和标准偏差。

计算一组位移的平均或最优位移需要衡量位移误差。这在刚体引导的机构运动学综合中是一个众所周知的问题。例如，平面四杆连杆机构最多能精确引导其连杆通过五个位置。对于超过五个位置的设计任务，可合成平面四杆连杆机构，使其连杆运动最佳逼近给定位置，这可表述为最小二乘逼近问题。

2. 平面位移的表示

考虑刚体从一个位置到另一个位置的平面位移。设 M 为附着在运动体上的参考系，F 为固定参考系，初始时 F 与 M 重合。运动体原点在 F 中的坐标为 (a, b)，M 的方向由角度 θ 表示。点在 M 中的坐标为 (x, y)，在 F 中的坐标为 (X, Y)，则点在 F 中的位置为：
[
\begin{bmatrix}
X \
Y
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta \
\sin\theta & \cos\theta
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \
y
\end{bmatrix}
+
\