微分方程与线性代数问题解析

1、初值问题需要一个初始条件。

正确

2、龙格 - 库塔法使用四次函数求值来计算下一步。

正确

3、f 和 ∂f/∂y 在任何地方都不连续。

错误

4、相图分析方法可行，并能提供关于长期行为的信息。

正确

5、判断：拉普拉斯变换中，L{C_1f_1(t) + C_2f_2(t)} = C_1L{f_1(t)} + C_2L{f_2(t)}是否成立。

正确

6、拉普拉斯变换是否具有唯一性？

正确

7、已知不同的微分方程及相关条件，判断解的存在性和唯一性情况（如对于某些方程判断在特定点解的存在和唯一情况）

a.
(i) 解在各处都存在；
(ii) 除了可能在 $ y = 0 $ 处，解在各处都是唯一的。

b.
(i) 解在各处都存在；
(ii) 解在各处都是唯一的。

c.
(i) 解在各处都存在，
除了可能当 $ y = \frac{\pi}{2} \pm n\pi $ 时。

8、已知不同的矩阵，求其特征值和特征向量

以下是不同矩阵对应的特征值和特征向量：

1. 特征值
   - λ₁ = -2
   - λ₂ = 2
   - λ₃ = 3
   特征向量
   - v₁ =
   ⎛
   ⎝
   2
   -1
   2
   ⎞
   ⎠
   - v₂ =
   ⎛
   ⎝
   1
   -1
   1
   ⎞
   ⎠
   - v₃ =
   ⎛
   ⎝
   2
   -1
   1
   ⎞
   ⎠

2. 特征值
   - λ₁ = -1
   - λ₂ = 1
   - λ₃ = 5
   特征向量