19、偏微分方程与非线性代数方程求解方法解析

偏微分方程与非线性代数方程求解方法解析

在科学与工程计算领域，偏微分方程和非线性代数方程的求解是非常重要的课题。下面将详细介绍偏微分方程的求解以及非线性代数方程的多种求解方法。

偏微分方程求解相关内容

在二维和三维问题中，求解偏微分方程（PDE）可能需要花费数小时甚至数天的CPU时间。因此，利用对称性来减小问题规模是非常重要的。例如，在某些情况下，通过利用问题的对称性，可以将原本复杂的计算简化，从而显著减少计算时间。

扩散方程的稳态极限

许多扩散问题在时间趋于无穷大时会达到一个与时间无关的稳态解。以一维扩散问题为例，当 $u$ 不依赖于时间时，扩散方程会简化为泊松方程或拉普拉斯方程。

考虑一个一维的两点边值问题：
(- u’‘(x) = 0, x \in (0, L), u(0) = C, u’(L) = 0)

对于这个问题，有以下几种求解思路：
- 利用时间相关问题的求解器 ：如果已经有了对应时间相关问题的求解器，可以使用该求解器进行模拟，直到 $t \to \infty$。在实际操作中，这意味着 $u(x, t)$ 在一定容差范围内不再随时间变化。
- 隐式方法 ：像向后欧拉格式这样的隐式方法具有一个很好的特性，即可以通过一个非常大的时间步长“到达无穷大”，从而得到上述稳态问题的解。

下面是具体的操作步骤：
1. 离散化 ：假设上述方程在空间网格点 $x_i$ 上成立，使用有限差分法对 $u’‘$ 进行离散化，建立关于网格点 $x_i$ 处近