17、偏微分方程与线性代数的数值解法及相关概念

偏微分方程与线性代数的数值解法及相关概念

1. 偏微分方程的分类与解法

1.1 偏微分方程的分类

偏微分方程（PDEs）主要分为椭圆型、双曲型和抛物型。双曲型PDEs描述以对流为主导的系统，其解沿着特征曲线无衰减地传播；抛物型PDEs则介于椭圆型和双曲型之间，解会沿着第一个自变量（通常是时间）传播，且域内任意点的解会受到边界的影响。

1.2 数值解法

对于双曲型和抛物型PDEs，主要讨论了基于有限差分近似和方法线（Method of Lines, MoL）的数值方法。显式时间方法因其计算量小于全隐式方法而具有吸引力。MoL是解决双曲型和抛物型PDEs的首选方法，它通过对PDEs进行空间离散，将其转化为一系列关于时间的常微分方程（ODEs），然后可以使用之前章节中的ODE求解技术来解决这些问题。

1.3 离散化方法的选择

• 双曲型PDEs ：使用中心差分公式离散对流项可能导致解的不稳定行为，因此建议使用迎风方法（一阶或高阶）进行空间离散。同时，还讨论了双曲型PDEs中的数值扩散问题。
• 抛物型PDEs ：扩散项具有稳定作用，允许使用中心差分公式进行空间离散。

1.4 Crank - Nicolson方法

Crank - Nicolson方法是一种基于有限差分的全隐式时间数值求解技术，但在此未进一步讨论，其实际应用将在后续内容中讲解。

1.5 总结

MoL是解决双曲型和抛物型PDEs的首选方法，它允许使用