一文搞懂泊松分布，指数分布，泊松过程！

在介绍泊松分布和指数分布之前，我们先介绍一下泊松过程是什么。

泊松过程

首先，泊松过程是一种特殊的计数过程。

计数过程指的是累计某事件发生次数的过程。

计数过程在日常生活中经常出现，比如计算某家医院的婴儿出生数量，计算某条路通过的车辆次数等等。

用形式化的表示可以写作 { N ( t ) , t ≥ 0 } \{N(t), t\ge0\} { N(t),t≥0}，比如每隔1分钟统计一下观测时间段内通过的所有车次，可以写作 { N ( t = 1 ) = 1 , N ( t = 2 ) = 3 , N ( t = 3 ) = 4 , N ( t = 4 ) = 7 , . . . } \{N(t=1)=1, N(t=2)=3, N(t=3)=4, N(t=4)=7, ... \} { N(t=1)=1,N(t=2)=3,N(t=3)=4,N(t=4)=7,...}。

那么，满足什么样的条件就可以认为这个计数过程是一个泊松过程呢？

下面就从事件发生次数和事件发生的时间间隔两个角度来理解泊松过程，而这两个角度刚好对应了这样两种分布：泊松分布和指数分布。

泊松分布

生活中很多事情看似随机，实则都有固定频率。

比如，一条车流量很小的路上每分钟经过3辆车，一个医院每小时出生5个婴儿，天空中每小时出现10颗星星。

如果一个事件的发生（星星的出现）存在有一个固定的速率 $\lambda$（固定的每小时出现10颗星星），且事件之间彼此独立（下一颗星星的出现不受上一颗星星的出现的影响），并且不会在极短时间内多次发生该事件（不会在1s内同时有两颗星星出现），则认为对该事件的计数，即给定时间段内该事件出现次数的概率分布，满足泊松分布。计数满足泊松分布的过程，也就是泊松过程。

比如，在 $[0,t]$ 时间段内，星星出现 $k$ 次的概率等于：
$$P(N(t)=$$