指数分布与泊松过程（一）

指数分布是概率论中的一个比较常见的分布，本章节主要的目的就是列举指数分布的相关性质，同时举出例子说明这些性质的应用。
首先是指数分布的密度函数

$$f(x)= \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, &\text{x $\ge$ 0}\\ 0, &\text{x<0} \end{cases}$$
它的期望和方差分别为 $$E(x)=\frac 1\lambda\\ Var(x)=\frac 1{\lambda^2}$$
性质1 无记忆性
一个随机变量X成为无记忆的，如果它满足
$$P(X>s+t|X>s)=P(X>t)\\$$
例1.考虑由两个办事员经营的邮局，假设A进入邮局的时候，两个办事员分别在为B和C两个客户进行服务，同时这两个办事员用在两个顾客上的时间服从参数为 $\lambda$的指数分布，那么这三个顾客中，A顾客最后走的概率是多少。

分析：在A进入邮局时，必须等到B或者是C中的一个服务完之后，方可被服务。显然A一定不是第一个走，同时无论是B或者是C中的哪一个顾客先走，剩下的那个顾客等待时间仍然是一个指数分布，这样和A顾客的等待时间服从相同的分布，故剩下的那个顾客和A最终是谁先走，概率是一样的，原因就是指数分布的无记忆性，无论剩下的那个顾客被服务了多久，他再被服务的时间仍然是服从相同的分布

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性质2 两个指数分布随机变量大小关系
如果$X_1$和$X_2$是两个参数分别为$\lambda_1$和$\lambda_2$的随机变量，那么

$$P(X_1<X_2)=\frac {\lambda_1} {\lambda_1+\lambda_2}$$
证明用全概率公式
$$P(X_1<X_2)=\int _0^\infty P(X_1<X_2|X_1=x)\lambda_1 e^{-\lambda_1}dx\\$$

例2.还是例1那种情况，但是不同的是，这两个办事员的服务时间服从参数分别是$\lambda_1$和$\lambda_2$的指数分布，那么A在邮局待的时间T的期望是多少。
$\\$
分析：A在邮局待的时间T等于B或者C从A进入邮局到他俩其中一个办完事的时间加上A被服务的时间，其实就是

$$E(T)=E(T|T_B<T_C)*P(T_B<T_C)+E(T|T_C<T_B)*P(T_C<T_B)$$
根据性质2，我们可得
$$P(T_B<T_C)=\frac {\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}$$

$$P(T_C<T_B)=\frac {\lambda_2}{\lambda_1+\lambda_2}\\$$ 同时

E(T|TB