[NOIP2016 提高组] 组合数问题 题解

题目背景

NOIP2016 提高组 D2T1

题目描述

组合数 (nm)(mn​) 表示的是从 nn 个物品中选出 mm 个物品的方案数。举个例子，从 (1,2,3)(1,2,3) 三个物品中选择两个物品可以有 (1,2),(1,3),(2,3)(1,2),(1,3),(2,3) 这三种选择方法。根据组合数的定义，我们可以给出计算组合数 (nm)(mn​) 的一般公式：

(nm)=n!m!(n−m)!(mn​)=m!(n−m)!n!​

其中 n!=1×2×⋯×n；特别地，定义 0!=1。

小葱想知道如果给定 n,mn,m 和 kk，对于所有的 0≤i≤n,0≤j≤min⁡(i,m)有多少对 (i,j)(i,j) 满足 k∣(ij)。

输入格式

第一行有两个整数 t,kt,k，其中 tt 代表该测试点总共有多少组测试数据，kk 的意义见问题描述。

接下来 tt 行每行两个整数 n,mn,m，其中 n,mn,m 的意义见问题描述。

输出格式

共 tt 行，每行一个整数代表所有的 0≤i≤n,0≤j≤min⁡(i,m)0≤i≤n,0≤j≤min(i,m) 中有多少对 (i,j)(i,j) 满足 k∣(ij)k∣(ji​)。

输入输出样例

输入 #1

1 2
3 3

输出 #1

1

看我看我(●'◡'●)ﾉ♥

2016提高D2T1，按道理说应该不算太难，结果我蒙了好久。emmm，我还是太菜了。

组合数是高二数学选修内容，所以既然这道题是组合数，我们多多少少还是了解一下组合数的内容吧（换句话说，题目中的信息不够）：

也就是要了解：

组合恒等式

C（n,m）=C(n-1,m-1)+C(n-1,m)

其实也就是各位dalao所说的杨辉三角形，但是它是怎么来的呢？让我向各位高一及以下的同学们普及以下：

(由于技术因素，多了例2，本题主要使用了例1，有兴趣的同学可以了解一下例2) 

因此我们可以借助组合恒等式求出任意C（i,j）的值（有点数学的味道）。

我们考虑动态规划，设题意中的答案为dp[n][m],那么dp[n][m]又与谁有关呢？我们可以发现

dp[n][m]=dp[n-1][m]+dp[n][m-1]-dp[m-1][m-1]

dp[n-1][m-1]用来去重。

换句话说，dp[n][m]=dp[n-1][m-1]+C(n,m-1)新增量+C（n-1,m）新增量。

另外，为了之后的调用，需在j=i结束循环后使 dp[i][i+1]=dp[i][i]。（这里不理解可以先看代码在进行体会）

代码参上：

#include<cstdio>
using namespace std;
int zhs[2005][2005],dp[2005][2005];
int t,k,n,m;
inline int read()  //读入优化，速度++
{
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch>'9'||ch<'0')
    {
        if(ch=='-')
        f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')
    {
        x=x*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}
int main()
{
    t=read();k=read();
    for(int i=1;i<=2000;++i)
    {
        zhs[i][0]=1;
        zhs[i][i]=1;
    }
    zhs[1][1]=1;
    for(int i=2;i<=2000;++i)
        for(int j=1;j<i;++j)
        {
            zhs[i][j]=(zhs[i-1][j]+zhs[i-1][j-1])%k;
        }//组合恒等式
    for(int i=1;i<=2000;++i)
    {
        for(int j=1;j<=i;++j)
        {
            dp[i][j]=dp[i-1][j]+dp[i][j-1]-dp[i-1][j-1];
            if(!zhs[i][j])
            ++dp[i][j];
        }
        dp[i][i+1]=dp[i][i];//便于调用
    }
    for(int i=1;i<=t;++i)
    {
        n=read();m=read();
        if(m>n)
        m=n;
        printf("%d\n",dp[n][m]);
    }
    return 0;
}

在百忙之中写一篇题解也比较辛苦，别忘了点个赞！