模运算

基本的模运算公式:

(a + b) % p = (a % p + b % p) % p

(a - b) % p = (a % p - b % p) % p

(a * b) % p = (a % p * b % p) % p

a ^ b % p = ((a % p)^b) % p       a^b% m = (...((a % m) * a) % m) ......* a) % m其中a%m有b个

方法一:

利用公式a*b%c=((a%c)*b)%c,这样每一步都进行这种处理，这就解决了a^b可能太大存不下的问题，但这个算法的时间复杂度依然没有得到优化

代码:

int mod (int a,int b,int p)      

{     

   int result = 1; 

   while (b--) 

    {

       result = a * result % p; 

    }

   return result; 

}

方法二:

利用了二分的思想，可以达到O(logn)。原理如下:

可以把b按二进制展开为：b = p(n)*2^n + p(n-1)*2^(n-1) +…+   p(1)*2  +  p(0)

其中p(i) (0<=i<=n)为0或1

这样 a^b =  a^ (p(n)*2^n  + p(n-1)*2^(n-1)  +...+  p(1)*2 +  p(0))

 = a^(p(n)*2^n)  *  a^(p(n-1)*2^(n-1))  *...* a^(p(1)*2)  *  a^p(0)

对于p(i)=0的情况, a^（p(i) * 2^(i-1) ） =  a^0  =  1,不用处理

我们要考虑的仅仅是p(i)=1的情况

化简：a^(2^i)  = a^(2^(i-1)  * 2) = ( a^(  p(i)  * 2^(i-1)  )  )^2

利用这一点，我们可以递推地算出所有的a^(2^i)

当然由算法1的结论，我们加上取模运算：a^(2^i)%c = ( (a^(2^(i-1))%c) * a^(2^(i-1)))  %c

于是再把所有满足p(i)=1的a^(2^i)%c按照算法1乘起来再%c就是结果，即二进制扫描从最低位一直扫描到最高位

int mod(int a,int b,int p)

{

    intresult =1;

   while(b)

    {

       if(b&1)

       {

           result=result*a%y;

       }

       a=a*a%y;

       b>>=1;

    }

   return result;

}