40、回归与参数估计：线性与非线性回归的全面解析

回归与参数估计：线性与非线性回归的全面解析

在数据分析和建模领域，回归分析是一种强大的工具，用于建立变量之间的关系并估计模型参数。本文将深入探讨回归分析中的各种概念和方法，包括线性回归、非线性回归、参数估计以及如何评估模型的拟合优度。

1. 回归中的其他考虑因素

在回归分析中，我们通常有变量 x 和 y 的数据，但参数 Φ 是未知的。模型在参数空间中可能是线性的，也可能是非线性的。这里我们关注的是参数的线性性，而不是 x 和 y 的线性性。

1.1 多输入模型

模型可能有多个输入，例如：
[y = a_1 + a_2x + a_3w + a_4u]
为了找到上述线性模型的参数，我们使用多元线性回归。多元线性回归是单变量线性回归的直接扩展。

1.2 多项式回归

以比热模型为例：
[c_p = a + bT + cT^2 + dT^3]
虽然该模型在 T 上是非线性的，但在参数 a、b、c、d 上是线性的。由于 T、T² 和 T³ 是线性独立的，它与上述多输入模型具有相同的形式，其中 x ≡ T，w ≡ T²，u ≡ T³。这种多项式数据的回归称为多项式回归。

1.3 非线性回归

有些模型在参数空间中是非线性的，例如某些反应速率方程。在这种情况下，需要使用非线性回归来估计参数。有时，将非线性回归转换为线性回归并不容易。

2. 线性最小二乘回归

线性最小二乘回归主要处理单变量回归问题。我们将从拟合直线开始，用矩阵最小二乘法重新解释结果，并讨论一些评估拟合优度的统计量。

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