16、数值积分、线性代数知识解析

数值积分、线性代数知识解析

1. 数值积分技术与误差分析

1.1 数值积分在PFR设计问题中的应用

数值积分技术可用于解决PFR（平推流反应器）设计问题。例如示例中，即便使用较少的区间数量，所得到的解也具有较高的准确性。该示例的主要目的是展示积分公式的误差分析。

1.2 截断误差分析

• 局部截断误差 ：方程1.8和1.9展示了局部截断误差，即单次应用数值技术所产生的误差。
• 全局截断误差 ：当多次应用数值技术时，不仅会遇到局部误差，还会有误差累积到当前点所产生的误差。以梯形法则为例，根据方程1.8，其局部截断误差为$O(h^3)$，但图1.5显示误差与步长曲线的斜率为2，这是因为多次应用梯形法则时产生的全局截断误差为$O(h^2)$。对于两种牛顿 - 柯特斯公式，全局截断误差如下：
  • 梯形法则：$E_{trap}^{gte}(h) \sim h^2 f’‘(x)$
  • 辛普森1/3法则：$E_{simp}^{gte}(h) \sim h^4 f’‘’‘(x)$

1.3 数值积分的应用结构

通常会先讨论重要的数值技术，接着简要描述要模拟或分析的问题，最后应用这些技术来解决问题。

1.4 不同问题的处理方式

不同类型的问题有不同的处理方式，如下表所示：
| 问题类型 | 处理方式 |
| ---- | ---- |
| 非刚性系统的ODE