8、常微分方程显式方法求解指南

常微分方程显式方法求解指南

1 一般设置

一般的常微分方程（ODE）形式如下：
[
\frac{dy}{dt}=f(t,y),\quad y(t_0)=y_0
]
在时间 ( t = t_0 ) 时的初始条件被指定为 ( y_0 )。通常，( y \in R^n ) 是一个 ( n ) 维的感兴趣的解变量，而 ( f(t,y):R^n \to R^n ) 是一个向量值函数。在后续内容中，我们将重点介绍求解常微分方程初值问题（IVP）的数值技术，以及这些技术在过程工程问题中的应用。这里约定 ( y ) 是一个 ( n×1 ) 的列向量，( f(⋅) ) 是 ( n×1 ) 的函数向量，独立变量 ( t ) 是一个标量。

1.1 一些例子

在工程领域，由常微分方程描述的系统实例众多。
1. 物种在活塞流反应器（PFR）中的反应 ：物种在活塞流反应器中沿长度方向的反应由一个常微分方程描述：
[
u\frac{dC_A}{dz}=-kC_A^n
]
这是一个一阶常微分方程，需要一个初始条件 ( C_A(z = 0)=C_{A,in} )。
2. 电加热搅拌良好容器中液体温度的变化 ：其温度变化也由一个常微分方程描述：
[
V\rho c_p\frac{dT}{dt}=Q_h - hA_h(T - T_{in})
]
其中，( Q_h ) 是电加热器的热通量，( A_h ) 是加热器的表面积。初始温度 ( T(t = 0)=T_0 ) 构成了该系统的初始条件。
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