3、优化ORAM并将其高效用于安全计算

优化ORAM并将其高效用于安全计算

1. 复杂度分析

在进行复杂度分析前，先了解系统中的不同参数：
- 安全参数为 (k)。
- 有一个包含 (N) 个元素的数据库，每个元素大小为 (D) 比特。
- 最大的树有 (\lceil N/k\rceil) 个叶子节点，后续每个树比前一个树小一个常数因子 (\tau)，因此第 (i) 个树有 (\lfloor N/(k\tau^i)\rfloor) 个叶子节点，且共有 (\ell = \lceil\log_{\tau}(N/k)\rceil) 个树。
- 树的分支度为 (k)，第 (i) 个树的高度为 (\log_{k}(\lfloor N/(k\tau^i)\rfloor)\approx(\log N - i\log\tau)/\log k)。
- 最大树的每个节点包含 (2k) 个条目，每个条目大小为 (D + O(\log N))，总大小为 (O(k(D + \log N)))；较小树的每个节点包含 (2k) 个条目，每个条目大小为 (O(\tau\log N))，总大小为 (O(k\tau\log N))。

在协议中，每次访问请求时，双方会在每个树中互相发送两条路径（一条用于访问，另一条用于驱逐）。因此，每次访问的总通信复杂度为：
[
\begin{align }
&O(\log N / \log k)\cdot O(k(D + \log N))+\sum_{i = 1}^{\ell - 1}O((\log N - i\log\tau)/\log k)\cdot O(k\tau\log N)\
=&\frac{k\log N}{\lo