3、量子力学原理与量子计算基础

量子力学原理与量子计算基础

量子力学是物理理论发展的框架，为自然科学提供了重要基础，信息理论也从中汲取灵感。理解量子计算需要熟悉量子力学的基本原理，下面将介绍线性代数基础、量子力学的基本假设以及纯态和混合态的相关内容。

1. 量子力学的线性代数基础

量子计算和量子力学依赖于特定的符号形式（狄拉克符号）和经典线性代数，特别是矩阵的厄米结构和张量积。

1.1 基本定义和符号

• 数域与矩阵 ：用 (F) 表示实数域 (R) 或复数域 (C)。对于复数 (z = x + iy \in C)，其共轭为 (z^ = x - iy)。(M_{m,n}(F)) 表示元素在 (F) 中的 (m \times n) 矩阵空间，当 (m = n) 时记为 (M_n(F))。矩阵 (A = (a_{ij})) 的共轭为 (A^ = (a_{ij}^ ))，转置为 (A^{\top})，厄米共轭为 (A^{\dagger} = (A^ )^{\top})。单位矩阵记为 (I)，(I_n) 强调维度，(0_{m,n}) 为 (M_{m,n}(F)) 中的零矩阵。若存在 (B \in M_n(F)) 使得 (AB = BA = I_n)，则矩阵 (A) 可逆。
• 张量积 ：对于矩阵 (A \in M_{p,m}(F)) 和 (B \in M_{q,n}(F))，它们的张量积定义为：
  [
  A \otimes B :=
  \begin{bmatrix}
  a_{11}B & \cdots &am