23、部分分式展开与伽马函数的深入解析

部分分式展开与伽马函数的深入解析

1. 部分分式展开的替代方法

部分分式展开是处理有理函数的重要技术，除了常规方法外，还可以通过使等式两边分母相同，然后令分子相等的方法来实现。

1.1 基本假设

• 分子的最高次幂小于分母的最高次幂。若不满足，需先进行长除法，再处理商和余数。
• 分母可表示为实线性和二次因式的乘积。

1.2 具体步骤

1. 对于线性因式((s - a)^m)，将其分解为(\frac{r_1}{s - a} + \frac{r_2}{(s - a)^2} + \cdots + \frac{r_m}{(s - a)^m})的形式。
2. 对于二次因式((s^2 + \alpha s + \beta)^n)，分解为(\frac{r_1s + k_1}{s^2 + \alpha s + \beta} + \frac{r_2s + k_2}{(s^2 + \alpha s + \beta)^2} + \cdots + \frac{r_ns + k_n}{(s^2 + \alpha s + \beta)^n})。
3. 将给定的有理函数(F(s))表示为这些部分分式的和。
4. 等式右边各项乘以适当的因子，使两边分母相等。
5. 按(s)的降幂排列两边的项。
6. 令对应幂次的系数相等。
7. 求解所得方程，得到各部分分式的系数（残数）。

1.3 示例分析

以(F_7(s) = \frac{-2s + 4}{(s