22、差分方程与部分分式展开的深入解析

差分方程与部分分式展开的深入解析

一、斐波那契数列与差分方程

1.1 斐波那契数列的定义

斐波那契数列是差分方程 (y_{x + 2}=y_{x + 1}+y_{x}) 的解。在一个数列中，从第三个数开始，每个数都是前两个数的和。例如，已知 (y_0 = 0)，(y_1 = 1)，我们可以计算出前 12 个斐波那契数分别为 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 。

1.2 差分方程在电路分析中的应用

在一个特定的电路网络中，已知点 (P_0) 的电压 (V_0)，要求出各点 (P_x)（(x = 0, 1, 2, \cdots, n)）的电压 (V_x)。
- 推导差分方程 ：通过对电路中节点应用基尔霍夫电流定律（KCL），可以得到一系列方程。在一般节点 (P_x) 应用 KCL 可得：(\frac{V_{x + 1}-V_x}{R}+\frac{V_{x + 1}}{2R}+\frac{V_{x + 1}-V_{x + 2}}{R}=0)，化简后得到 (V_{x + 2}-2.5V_{x + 1}+V_x = 0)。但该关系在 (P_1) 和 (P_{n - 1}) 点不适用，需要单独分析这两点的电流关系。
- 求解差分方程 ：该差分方程的特征方程为 (M^2 - 2.5M + 1 = 0)，其根为 (M_1 = 0.5) 和 (M_2 = 2)。所以通解为 (V_x=k_1(0.5)^x + k_2(2)^x)。通过将该通解代入 (P_1) 和 (P_{n - 1}) 点的方程，可以求出常数 (k_1)