10、z变换：系统表示与差分方程求解

z变换：系统表示与差分方程求解

1. z变换计算示例

在信号处理中，z变换是一种重要的工具。通过计算，我们得到如下z变换表达式：
[X(z) = \frac{0.5 - j}{1 - 0.8e^{+j\frac{\pi}{4}}z^{-1}} + \frac{0.5 + j}{1 - 0.8e^{-j\frac{\pi}{4}}z^{-1}}, |z| > 0.8]
根据z变换表，可得到对应的时域序列：
[x(n) = (0.5 - j)0.8^ne^{+j\frac{\pi}{4}n}u(n) + (0.5 + j)0.8^ne^{-j\frac{\pi}{4}n}u(n)]
进一步化简为：
[x(n) = 0.8^n\left[\cos\left(\frac{\pi n}{4}\right) + 2\sin\left(\frac{\pi n}{4}\right)\right]u(n)]
我们可以使用MATLAB进行验证：

>> [delta, n] = impseq(0,0,6);
x = filter(b,a,delta) % check sequence
x =
Columns 1 through 4
1.00000000000000
1.69705627484771
1.28000000000000
0.36203867196751
Columns 5 through 8
-0.40960000000000
-0.69511425017762
-0.52428800000000
-0.14829104003789
>> x = ((0.8)