8、种群增长与收获：模型、案例与混沌现象解析

种群增长与收获：模型、案例与混沌现象解析

在许多行业中，定期或持续收获对种群的影响至关重要，以渔业为例，过高的捕捞率是否会导致种群灭绝，过低的捕捞率是否会使行业失去生存能力，都是亟待解决的问题。

1. 带收获的有限增长模型

1.1 方程的建立

在逻辑斯谛模型中加入恒定的收获率，可得到种群变化率的方程：
种群变化率 = 出生率 - 正常死亡率 - 拥挤死亡率 - 收获死亡率。
假设收获率为常数 (h)，则该方程可转化为微分方程：
(\frac{dX}{dt} = rX(1 - \frac{X}{K}) - h)
其中，(h) 为恒定的收获率（单位时间内捕获的总数或因收获导致的单位时间死亡数），它与种群大小无关，可视为配额。

1.2 微分方程的求解

我们可以从微分方程中推断出关于解的许多有用信息，也可以针对特定参数值获得显式解。以 (r = 1)，(K = 10)，(h = \frac{9}{10}) 且 (X(0) = x_0) 为例，微分方程变为：
(\frac{dX}{dt} = -\frac{1}{10}(X^2 - 10X + 9) = -\frac{1}{10}(X - 1)(X - 9))
当绘制图形时，需要考虑以下几种情况：
- 若 (x_0 < 1)，则 (X’\lt 0)，种群数量下降。
- 若 (1 < x_0 < 9)，则 (X’\gt 0)，种群数量增加。
- 若 (x_0 > 9)，则 (X’\lt 0)，种群数量下降。
- 若 (x_0 = 1) 或 (x_0 = 9)，则种群数量不变