17、数值分析中的有限差分、插值与回归方法

数值分析中的有限差分、插值与回归方法

1. 有限差分的基本概念

1.1 差分的定义

在数值分析里，差分是极为重要的概念。一阶差分的定义为：(f(x_i, x_j)=\frac{f(x_i) - f(x_j)}{x_i - x_j})，这里的(x_i)和(x_j)是区间内任意两个值，不一定连续。二阶差分定义为：(f(x_i, x_j, x_k)=\frac{f(x_i, x_j) - f(x_j, x_k)}{x_i - x_k})，三阶、四阶及更高阶差分的定义与之类似。

若(x)的值等间距分布，且分母都相同，这些值就被称作函数的差分。设相邻(x)值的常数差为(h)，则(x_k = x_0 + kh)，其中(k = \cdots, -2, -1, 0, 1, 2, \cdots)。

1.2 差分算子的运用

差分通常用差分算子(\Delta)来表示。一阶差分可表示为(\Delta f_k = f_{k + 1} - f_k)，二阶差分表示为(\Delta^2 f_k = \Delta(\Delta f_k) = \Delta f_{k + 1} - \Delta f_k)。一般而言，对于正整数(n)，(n)阶差分(\Delta^n f_k = \Delta(\Delta^{n - 1} f_k) = \Delta^{n - 1} f_{k + 1} - \Delta^{n - 1} f_k)。

差分算子遵循指数法则，即(\Delta^m(\Delta^n f_k) = \Delta^{m + n} f_k)。(n)阶差分(\Delta^n f_k)可通过以下关系求得：
(\Delta^n f_k = f_{