47、路径复用下的方差减少与实时镜面反射算法

路径复用下的方差减少与实时镜面反射算法

1. 有效复用因子

在路径复用的情况下，方差变化不大，直接使用 (n_{\Phi}) 会严重高估事件的可能性。为了将这一观察结果融入平衡启发式算法，我们需要改变每个合并采样器的因子 (n)。最优因子能告诉我们在合并多个子路径时，完整路径的方差减少了多少。

从方程 2 的方差性质出发，合并采样器的真正有效使用情况如下：
[
n = \frac{V[X]E[Y]^2 + V[Y]E[X]^2 + V[X]V[Y]}{V[X]E[Y]^2 + V[Y]E[X]^2 + V[X]V[Y]n_{\Phi}}
]
这是使用和不使用 (n_{\Phi}) 次光路子路径采样器时方差的商。自然地，如果 (n_{\Phi}=1)，方程 3 就退化为 (n = 1)。只有当视图路径方差为零时，才能达到 (n = n_{\Phi})。但这个理论解缺乏适用性，因为我们需要根据手头的单个子路径样本对 (V) 和 (E) 进行稳定估计。

2. 近似解

最困难的问题是：“路径的 (V) 和 (E) 量是多少？” 路径由多个蒙特卡罗采样事件和一个连接或合并事件组成。当采样密度 (p) 和目标函数 (f) 成比例时，蒙特卡罗积分器中计算的 (f/p) 比值对于任何样本都是常数，因此估计器的方差为零。如果 (p) 和 (f) 几乎成比例，蒙特卡罗采样器的方差接近零：(V \approx 0)。

在重要性采样中，我们选择与 BSDF 成比例的采样概率密度函数（PDF）(p)，但目标函数是 BSDF 乘以入射辐射率。以直接照明为例，我们从确定性直接光计算中得到入射辐射率作为一个方差为零的随机变量的期