20、数值方法求解微分方程与积分

数值方法求解微分方程与积分

1. 微分方程数值求解方法概述

在求解微分方程时，当解析解难以获得时，数值方法就显得尤为重要。常见的数值方法包括 Adams 方法、Milne 方法、Taylor 级数方法和 Runge - Kutta 方法等，下面我们将详细介绍这些方法。

1.1 Adams 方法

Adams 方法通过一个用 (f(x,y)) 的差分表示的公式来从 (y_n) 递推到 (y_{n + 1})，其公式为：
[y_{n + 1}=y_n+h f_n+\frac{1}{2}\Delta f_n+\frac{5}{12}\Delta^2 f_n+\frac{3}{8}\Delta^3 f_n+\cdots]
其中，(h = x_{n + 1}-x_n)，(f_n=f(x_n,y_n))，(\Delta f_n=f_n - f_{n - 1})，(\Delta^2 f_n=\Delta f_n-\Delta f_{n - 1}) 等等。

显然，要形成差分表，除了给定的初始条件 (y(0)) 外，还需要 (y(x)) 的几个（4 个或更多）近似值。这些值可以通过其他方法，如 Taylor 级数或 Runge - Kutta 方法来求得。

示例 9.6

给定微分方程 (y’ = 2y + x)，初始条件 (y(0)=1)。
1. 首先，使用三阶 Runge - Kutta 方法计算 (x = 0.1,0.2,0.3,0.4,0.5) 时 (y) 的近似值。
2. 然后，使用 Adams 方法求 (x = 0.6) 时 (y) 的值，精确到三位小数。

以下是