9、具有复制和移除操作的逻辑系统研究

具有复制和移除操作的逻辑系统研究

1. 基本概念与双模拟性质

在逻辑研究中，我们引入了具有复制（cp）和移除（rm）操作的动态模态逻辑 ML(cp, rm)。复制操作可以复制输入模型，而移除操作则能根据给定表达式删除输入模型中的特定路径。

首先明确一些基本概念。对于公式 $\phi$，若存在有指模型 $M, w$ 使得 $M, w \vDash \phi$，则称 $\phi$ 是可满足的。当左侧为空时，$\vDash \phi$ 表示 $\phi$ 在任何模型中都成立。我们还将 $cp(\bar{p})\phi$ 定义为 $\bigwedge_{q\in\bar{p}} cp(\bar{p}, q)\phi$ 的缩写。

双模拟是研究模态语言表达能力的经典概念。对于 ML(cp, rm)，其所需的双模拟条件与基本时态逻辑 ML($\Diamond^{-1}$) 的条件类似。具体条件如下：
- 原子和谐（Atomic Harmony） ：对于所有 $p \in PROP$，$w \in V(p)$ 当且仅当 $w’ \in V’(p)$。
- Zig ：若 $(w, v) \in R$，则存在 $v’$ 使得 $(w’, v’) \in R’$ 且 $vZv’$。
- Zag ：若 $(w’, v’) \in R’$，则存在 $v$ 使得 $(w, v) \in R$ 且 $vZv’$。
- Zig$^{-1}$ ：若 $(v, w) \in R_a$，则存在 $v’$ 使得 $(v’, w’) \in