33、矩阵简洁表示与相等性测试

矩阵简洁表示与相等性测试

1. 背景知识

在处理矩阵时，为了更高效地表示和操作大规模矩阵，人们提出了多种简洁表示方法。在介绍这些表示方法之前，我们先明确一些基本概念。

我们考虑的是半环 $(S, +, \cdot)$ 上的矩阵，其中 $(S, +)$ 是具有单位元 0 的有限生成交换幺半群，$(S, \cdot)$ 的单位元是 1，并且对于所有 $a \in S$，有 $0 \cdot a = a \cdot 0 = 0$。用 $S^{n×n}$ 表示 $S$ 上所有 $(n × n)$ 矩阵的集合。

时间复杂度的衡量基于 RAM 计算模型，整数的算术运算采用对数成本度量，即对 $n$ 位数字的算术运算需要 $O(n)$ 时间。对于整数 $n$，用 $bin(n)$ 表示其二进制编码。

复杂度理论中的一些基本类也是我们需要了解的，如 NP、coNP 和 PSPACE 等。函数 $f : {0, 1}^ \to {0, 1}^ $ 属于 $FSPACE(s(n))$（或 $FTIME(s(n))$），如果 $f$ 可以在确定性图灵机上以空间（或时间）$s(n)$ 计算。$FP = \bigcup_{k \geq 1} FTIME(n^k)$，$FPSPACE = \bigcup_{k \geq 1} FSPACE(n^k)$。

计数类 #P 包含所有函数 $f : {0, 1}^* \to \mathbb{N}$，对于这些函数，存在一个非确定性多项式时间图灵机 $M$，使得对于所有输入 $x$，$f(x)$ 是 $M$ 对输入 $x$ 的接受计算路径的数量。如果将非确定性多项式时间图灵机替换为非确定性多项式空间图灵机（或