6、房屋分配问题中流行匹配的计数研究

房屋分配问题中流行匹配的计数研究

1. 引言

流行匹配问题涉及一组代理（A）和一组房屋（H）。每个代理对部分房屋进行排序，其排序后的房屋列表就是偏好列表。问题实例可以用二分图 $G = (A ∪ H, E)$ 表示，其中 $E$ 是所有代理偏好边的集合。一个匹配 $M$ 是二分图 $G$ 的一个匹配，$M(a)$ 表示代理 $a$ 在匹配 $M$ 中分配到的房屋，$M(h)$ 表示分配到房屋 $h$ 的代理。

若一个代理在匹配 $M$ 中被匹配而在 $M’$ 中未被匹配，或者在两者中都被匹配但更喜欢 $M$ 分配的房屋，则该代理更喜欢匹配 $M$ 。若更喜欢 $M$ 的代理数量多于更喜欢 $M’$ 的代理数量，则称 $M$ 比 $M’$ 更流行，记为 $M ≻ M’$ 。若不存在比 $M$ 更流行的匹配 $M’$ ，则称 $M$ 为流行匹配。

流行匹配问题是稳定婚姻问题的一个变体，近年来在很多场景下被广泛研究，之前的工作大多聚焦于寻找高效算法来输出流行匹配（如果存在）。

计数组合问题的“解”数量属于复杂度类 #P。例如，稳定匹配的计数问题已被证明是 #P - 难的。本文研究流行匹配的计数问题，动机在于稳定匹配和流行匹配结构的相似性，以及标准情况下存在线性时间算法来精确计算流行匹配的数量。我们考虑了标准版本的两种推广情况：偏好列表有平局和房屋有容量限制。

不同变体的流行匹配问题及研究结果如下：
- 房屋分配问题（HA） ：每个代理的偏好列表是线性顺序。Abraham 等人给出了 HA 实例中流行匹配的完整刻画，并给出了 $O(m + n)$ 时间复杂度的算法来检查实例是否存在流行匹配并获取最大的