26、矩阵微积分中的微分性质与计算

矩阵微积分中的微分性质与计算

1. 微分的基本性质

1.1 微分的求和规则

设 $\alpha$ 为常数，$A$ 为常数矩阵，$F$ 和 $G$ 为同阶矩阵函数。有以下性质：
- $dA = O$ ：常数矩阵的微分为零矩阵。因为常数标量函数 $\phi(x) := \alpha$ 的导数 $\phi’(x)$ 为零，矩阵函数同理，矩阵的微分是微分的矩阵。
- $d(\alpha F) = \alpha dF$ ：由标量结果 $d(\alpha\phi(x)) = \alpha d\phi(x)$ 可得。
- $d(F + G) = dF + dG$ ：以向量的标量函数为例，设 $\phi(x) := f(x)+g(x)$，则 $d\phi(x; u) = \sum_{j} u_jD_j\phi(x) = \sum_{j} u_j (D_jf(x) + D_jg(x)) = \sum_{j} u_jD_jf(x) + \sum_{j} u_jD_jg(x) = df(x; u) + dg(x; u)$，矩阵情况同理。
- $d(F - G) = dF - dG$ ：证明方法与上述类似，由于导数的线性性质，微分也满足此性质。
- $dtr F = tr(dF)$（$F$ 为方阵） ：同样基于导数和微分的线性关系。

1.2 线性算子的置换

对于任意矩阵函数 $F$：
- $d(F’) = (dF