25、矩阵不等式与矩阵微积分：理论与应用

矩阵不等式与矩阵微积分：理论与应用

1. 从Schur补导出的不等式

在矩阵理论中，Schur补是一个强大的工具，它能帮助我们推导出许多重要的不等式。

1.1 Schur补的基本不等式

设 $A$ 是一个 $n×n$ 的正定矩阵，$B$ 是一个 $n×m$ 的矩阵。对于任意对称的 $m×m$ 矩阵 $X$，有：
[
Z :=
\begin{pmatrix}
A & B \
B’ & X
\end{pmatrix}
\geq O \Leftrightarrow X \geq B’A^{-1}B
]
并且，如果其中一个不等式是严格的，那么另一个也是严格的。

证明过程如下：
我们有等式
[
\begin{pmatrix}
I & O \
-B’A^{-1} & I
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
A & B \
B’ & X
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
I & -A^{-1}B \
O & I
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
A & O \
O & X - B’A^{-1}B
\end{pmatrix}
]
简记为 $P’ZP = \Delta$。由于 $|P| \neq 0$，根据相关定理可知 $