22、矩阵广义逆与特殊矩阵性质解析

矩阵广义逆与特殊矩阵性质解析

1. 矩阵方程与广义逆

1.1 矩阵方程 AXB = C 的解

对于矩阵方程 (AXB = C)，其解的情况与矩阵 (A) 和 (B) 的秩密切相关。
- 一致性条件 ：方程 (AXB = C) 对任意 (C) 都有解的充要条件是 ((B’\otimes A)(B’\otimes A)^+ = I)，这等价于 (B^+B = I) 且 (AA^+ = I)，即 (A) 具有满行秩，(B) 具有满列秩。
- 唯一解条件 ：方程 (AXB = C) 有唯一解的充要条件是 (A^+A = I) 且 (BB^+ = I)，也就是 (A) 具有满列秩，(B) 具有满行秩。

1.2 齐次矩阵方程的解

• (AX = O) 的通解 ：将 (B := I) 和 (C := O) 代入方程 (AXB = C)，由于 (C = O)，该方程为齐次方程，其通解为 (X = (I - A^+A)Q)。
• (XA = O) 的通解 ：同理，齐次方程 (IXA = O) 的通解为 (X = Q(I - AA^+))。

1.3 广义逆的定义与性质

• 广义逆的存在性 ：任何满足 (AXA = A) 的矩阵 (X) 都称为 (A) 的广义逆，记为 (A^-)。显然，(X := A^+) 满足 (AXA = A)，所以广义逆 (A^-) 存在。