26、AVL树插入算法详解

AVL树插入算法详解

1. AVL树概述

AVL树是一种高度平衡的二叉搜索树，在插入新节点时，需要维护树的平衡以保证树的操作复杂度不受影响。在AVL树中，既可以存储每个节点的平衡因子，也可以存储节点的高度，这两种方式对树操作的复杂度没有影响。

2. AVL树迭代插入算法

2.1 插入流程

迭代插入新值到高度平衡的AVL树中，需要跟踪到新插入值的路径，为此使用一个栈，称为路径栈。具体步骤如下：
1. 从根节点开始，沿着唯一的搜索路径找到新节点的插入位置，将路径上的每个节点压入路径栈。
2. 根据二叉搜索树的性质，将新节点插入到合适的位置。
3. 从路径栈中弹出节点，调整它们的平衡因子，直到找到一个平衡因子不为零的节点，这个节点称为枢轴节点。

2.2 插入的三种情况

根据枢轴节点和新值的位置，插入新值时会出现三种互斥的情况：

2.2.1 情况1：无枢轴节点

路径上每个节点的平衡因子都为0。此时，根据新键与每个节点键的相对值，调整搜索路径上每个节点的平衡因子。可以使用路径栈来检查到新节点的路径。
例如，将39插入到AVL树中，包含10、18和40的节点被压入路径栈。新节点39的平衡因子设为0，节点40的新平衡因子为 -1，节点18的新平衡因子为1，根节点插入后平衡因子为1。

2.2.2 情况2：调整平衡因子

枢轴节点存在，且新节点被添加到枢轴节点高度较小的子树中。此时，只需更改从新节点到枢轴节点搜索路径上节点的平衡因子，枢轴节点以上节点的平衡因子不受影响，因为插入新节点不会改变以枢轴节点为