18、矩阵特征值、特征向量及矩阵函数相关知识解析

矩阵特征值、特征向量及矩阵函数相关知识解析

1. 矩阵特征值与特征向量

在矩阵分析中，特征值和特征向量是非常重要的概念。例如，对于矩阵 (A = \alpha_1B + \alpha_2(I_n - B))，其特征向量与矩阵 (B) 的特征向量相关，具体为 (\frac{\mathbf{i}}{\sqrt{n}}) 以及任意一组 (n - 1) 个与 (\mathbf{i}) 正交的线性无关向量。

再看一个关于二次型 (\sum_{i,j = 1}^{n}(x_i - x_j)^2) 的例子，我们来求解与之相关的特征值和特征向量。
设 (\mathbf{x} = (x_1, \cdots, x_n)’)，则有：
[
\begin{align }
\sum_{i,j}(x_i - x_j)^2&=\sum_{i,j}(x_i^2 + x_j^2 - 2x_ix_j)\
&= 2n\sum_{i}x_i^2 - 2(\sum_{i}x_i)^2\
&= (2n)\mathbf{x}’\mathbf{x} - 2(\mathbf{i}’\mathbf{x})^2\
&= (2n)\mathbf{x}’\left(I_n - \frac{1}{n}\mathbf{i}\mathbf{i}’\right)\mathbf{x}\
&= (2n)\mathbf{x}’M\mathbf{x}
\end{align }
]
其中矩阵 (M = I_n - \frac{1}{n}\mathbf{i}\mathbf{i}’) 是对称幂等矩阵，秩为 (n