AVL树插入删除算法详解（有图） -- C++语言实现

一：AVL树介绍

AVL树本质上还是一棵二叉搜索树，它的特点是：

1.本身首先是一棵二叉搜索树。

2.带有平衡条件：每个结点的左右子树的高度之差的绝对值（平衡因子）最多为1。在本文中用分别用-1，0，1定义左边树高，等高，右边树高。平衡因子用m_bf表示。

也就是说，AVL树，本质上是带了平衡功能的二叉查找树（二叉排序树，二叉搜索树）。

二：插入算法

由于AVL树具有BST树的特性，所以它的插入算法思路上和BST树基本步骤是相同的，不过在BST树插入算法的基础上增加了由于平衡因子的变动，平衡化平衡因子的步骤，使得整棵树达到平衡因子绝对值不超过1的高度平衡。

在AVL树插入的过程中，为了使树再次平衡，需要作相应的旋转，分为单旋转和双旋转。又细分为左旋转，右旋转，左右旋转，右左旋转。

下面将就其中的主要情况加以说明：

（1）左旋转

左旋转的情况如图所示：

当我们插入元素出现类似的情况时，就需要左旋转来出马了。ptr是传给旋转函数的参数，我们先让ptr走到它的右孩子，用ptr表示旋转后的最上面的节点（有可能为根节点），用sub_left表示旋转后位置在左侧的节点，sub_right表示旋转后位置在右侧的节点（该图还未出现）。下文同此处。当出现上图情况是，我们只需用sub_left替换ptr的左孩子即可，并修改相应的平衡因子。不过有一点很重要，ptr的左孩子并不一定像图中那样为空，所以若要有左孩子，需要先将左孩子赋给sub_left的右孩子。

代码体现如下：

template <typename T>
void avl_tree<T>::rotate_left(node_type *&ptr)
{
	auto sub_left = ptr;      //先指定sub_left
	ptr = ptr->right_child;   //ptr走到它的右孩子

	sub_left->right_child = ptr->left_child;   //将ptr的左孩子覆盖sub_left的右孩子
	ptr->left_child = sub_left;         //旋转
	sub_left->m_bf = ptr->m_bf = 0;    //调整平衡因子
}

（2）右旋转

右旋转和左旋转代码只是镜像关系，就不重述一遍了。

（3）先左旋，后右旋

我们插入时可能碰到上面的情况，可以针对3、7进行左旋转，sub_left替换ptr的左孩子，再对7、16进行右旋转，sub_right替换ptr的右孩子。注意，若ptr有左右孩子，要将ptr的左孩子挂在sub_left的右孩子上，将ptr的右孩子挂在sub_left的左孩子上。

不过双旋转需要注意的是，平衡因子的情况不会像单旋转那么简单了，还可能出现下面的情况：

在这种情况中，2和18结点都是必须的，否则新插入9元素会直接导致3、7、9不平衡，程序直接执行左单旋转，而我们现在要讨论的是双旋转。

图中新增元素9或5，则3、7先左旋转，7、16后右旋转。分情况如下：

1.ptr的平衡因子为0：

ptr平衡因子为0时，如图2.1，经过双旋转后，参与旋转的节点平衡因子都为0。

2.ptr的平衡因子为1：

ptr平衡因子为1时，如图2.2，经过旋转后，sub_right的平衡因子为0，sub_left的平衡因子为-1。

3.ptr的平衡因子为-1：

ptr的平衡因子为-1时，如图2.3，经过旋转后，sub_right的平衡因子为1，sub_left的平衡因子为0。

上述三种情况概括了双旋转平衡因子的变化情况，代码体现如下：

template <typename T>
void avl_tree<T>::rotate_left_right(node_type *&ptr)
{
	auto sub_right = ptr;
	auto sub_left = ptr->left_child;
	ptr = sub_left->right_child;

	sub_left->right_child = ptr->left_child;
	ptr->left_child = sub_lef