AVL树【图示详解+代码实现】

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已于 2022-08-23 00:38:27 修改 · 3.1k 阅读

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#数据结构 #算法 #AVL树

于 2022-08-23 00:34:44 首次发布

本文详细介绍了AVL树的概念、节点定义以及插入、删除操作，重点讨论了四种旋转操作：右单旋、左单旋、左右双旋和右左双旋，同时分析了插入和删除时的平衡因子调整。此外，还涵盖了AVL树的性能优势和验证方法，展示了其实现代码。

✨前言：这篇文章会对AVL树这个较复杂的数据结构进行讲解，重点讲解了对AVL树的四种旋转操作，对于这四种旋转都做了非常详细的画图分析，并且对代码进行了实现，还有对于AVL树的验证代码及AVL树的性能分析也做了介绍.

AVL树详解

🏞️1.AVL树的概念

在前面，我们学习过二叉搜索树，虽然二叉搜索树可以缩短查找效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单边树，查找元素相当于在顺序表中查找，效率低下. 因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度**.

基于上述概念，我们可以得出：一棵AVL树，要么是空树，要么是具有以下性质的二叉搜索树：

它的左右子树均为AVL树
左右子树高度之差（简称平衡因子）的绝对值不超过1

上述图中计算平衡因子时采用公式：平衡因子 = 右子树高度 - 左子树高度

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树. 如果它有n个节点，其高度可保持在 $O(log_2n)$ ，搜索时间复杂度 $O(log_2n)$ .

🌁2. AVL树节点的定义

AVL树节点定义：

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
   
   
	AVLTreeNode(const pair<K, V>& val = pair<K, V>())
		: _kv(val)
		, _left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _bf(0)
	{
   
   }

	pair<K, V> _kv;
	int _bf;

	AVLTreeNode* _left;
	AVLTreeNode* _right;
	AVLTreeNode* _parent;
};

在节点定义中，我们使用kv模型来存储值.

🌠3. AVL树的操作

📖3.1 AVL树的插入

注意：对于AVL树的插入，因为它是要结合AVL树的旋转的，所以在本文中，AVL树的插入和AVL树的旋转合起来才是完整的插入过程，所以这里的3.1 主要讲一下插入的大体的一个过程，具体插入的细节及代码实现都在3.2AVL树的旋转中.

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树. 那么AVL树的插入可以分为两步：

按照二叉搜索树的方式插入新节点
调整平衡因子

对于平衡因子的调整，在插入之前，所有节点的平衡因子分为三种情况：0，1，-1插入后，新插入节点可能会使它的父节点的平衡因子发生变化，有这么三种情况：

1.新插入节点的父节点（parent）的平衡因子变成0（一定是由1或-1变成0）

2.新插入节点的父节点（parent）的平衡因子变成-1/1（由0变成1或-1）

3.新插入节点的父节点的平衡因子变成2/-2，此时已经违反了平衡树的性质，需要对其进行旋转处理.

📖3.2 AVL树的旋转

新节点插入到较高左子树的左侧：右单旋

对于图中的右单旋，它的规则如下：

对于图中的a，b，c均为抽象节点，可能不太好理解，所以我们也可以将它们设置成实际的节点来进行分析，会更加直观：

对于，图中的抽象模型，为了方便分析，我们可以将它替换成实际节点来看：

当我们通过将h设置为不同的值时，实际的AVL树就会改变，通过画出h = 0和 h = 1的图我们就已经可以分析清楚这种旋转的情况了，对于h=2、3、4........，由于光是h=2时这棵树的样子就可能有36种情况，所以这里便不再一一画出.如果读者感兴趣，可以试着自己画一画，但根据以上h=0和h=1的情况我们就已经可以分析清楚了

最终，根据我们图上所画的这种右单选的情况，我们可以按照上图写出右旋转的代码：

void RotateR(Node* parent)
{
   
   
    Node* subL = parent->_left;
    Node* subLR = subL->_right;

    parent->_left = subLR;
    if (subLR)
    {
   
   
        subLR->_parent = parent;
    }

    //有可能parent是一个节点的子节点
    Node* ppNode = parent->_parent;

    subL->_right = parent;
    parent->_parent = subL;

    if (ppNode)
    {
   
   
        //parent为ppNode的子节点
        if (parent == ppNode->_left)
        {
   
   
            ppNode->_left = subL;
        }
        else
        {
   
   
            ppNode->_right = subL;
        }

        subL->_parent = ppNode;
    }
    else
    {
   
   
        //parent为根结点，旋转后将subL作新的根节点
        _root = subL;
        subL->_parent == nullptr;
    }
	
    //调整平衡因子
    subL->_bf = parent->_bf = 0;
}

在写上述的代码时，我们有一个需要注意的地方，当我们发现当前节点的平衡因子发生错误，我们就需要将当前节点传入到RotateR右旋函数进行右单选，但是当前的节点也就是parent节点，它有可能是根结点，也可能是一个节点（在代码中我们用ppNode表示）的子节点，所以我们需要分情况讨论.

新节点插入到较高右子树的右侧：左单旋

左单旋的旋转规则如下：

对于左单选的图示中，将抽象节点转换为实际节点进行分析在右单选中已经演示过，两者非常类似，所以这里不再花费篇幅去讲解.

我们根据左单选的旋转规则就可以写出它的代码：

void RotateL(Node* parent)
{
   
   
    Node* subR = parent->_right;
    Node* subRL = subR->_left;
    parent->_right = subRL;

    if (subRL)
    {
   
   
        subRL->_parent = parent;
    }

    Node* ppNode = parent->_parent;
    subR->_left = parent;
    parent->_parent = subR;

    if (ppNode)
    {
   
   
        if (parent == ppNode->_left)
        {
   
   
            ppNode->_left = subR;
        }
        else
        {
   
   
            ppNode->_right = subR;
        }
        subR->_parent = ppNode;
    }
    else
    {
   
   
        _root = subR;
        subR->_parent = nullptr;
    }

    subR->_bf = parent->_bf = 0;
}

新插入节点在较高左子树的右侧：先左单选再右单旋

对于这种左右双旋，它的旋转规则如下：

对于规则中所述的左单旋和右单旋，在文章上面均已讲解，可以参考上面.

在上图所画的节点均为抽象节点，对于这种左右双旋的情况，我们也可以将抽象节点代替成成实际节点来分析一下：

当h=0时：

当h=1时：在这里要注意，当h=1时，我们在插入新节点的时候，25的左子树和右子树均可以插入，所以就有两种情况我们先来看第一种：新节点插入在25的左子树

新节点插入在25的右子树：

我们分别分析了h=0、h=1时的情况，对左右双旋的这种情况进一步的加深理解，对于分析过程中，我们应该还会发现一个问题，那就是最终调整完之后的平衡因子调整问题：

我们发现，对上面的情况，每一棵树在插入新节点后，它们的subLR的平衡因子都各不相同，而且对应最终平衡因子需要调整的节点（parent、subL、subLR），它们调整后的值也是分为了三种情况的：

所以，由此，我们可以总结出最终的平衡因子调整规则：

当subLR = 0时：调整为subLR = 0，subL = 0，parent = 0
当subLR = -1时：调整为subLR = 0，subL = 0，parent = 1
当subLR = 1时：调整为subLR = 0，subL = -1，parent = 0

对于左右双旋的旋转规则我们已经分析完成，接下来完成它的代码：

void RotateLR(Node* parent)
{
   
   
    Node* subL = parent->_left;
    Node* subLR = subL->_right;
    int bf = subLR->_bf;

    RotateL(parent->_left);
    RotateR(parent);

    if (bf == 0)
    {
   
   
        parent->_bf = 0;
        subL->_bf = 0;
        subLR->_bf = 0;
    }
    else if (bf == -1)
    {
   
   
        parent->_bf = 1;
        subL->_bf = 0;
        subLR->_bf = 0;
    }
    else if (bf == 1)
    {
   
   
        parent->_bf = 0;
        subL->_bf = -1;
        subLR->_bf = 0;
    }
    else
    {
   
   
        //如果走到这里，说明在旋转之前就已经有错，直接断言
        assert(false);
    }
}