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最新推荐文章于 2020-03-08 19:50:52 发布

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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/g21wcr/article/details/98229091

本文介绍了一种求解最小乘积生成树问题的高效算法。通过将sumc和sumt作为坐标轴，将生成树映射为坐标点，寻找x*y最小的点。算法首先确定坐标轴上的两个极值点，再通过递归和凸包求解，利用叉积计算和最小生成树求解关键点C，最终得出最小乘积生成树。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

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最小乘积生成树板题。分别将 $sum_c$ 和 $sum_t$ 当做横坐标与纵坐标，于是对于任意的一个生成树都可以对应到坐标系中的一个点。我们只需要找出 $x * y$ 最小的那个点。步骤如下：
首先分别找到 $sum_c$ 最小和 $sum_t$ 最小的两个点。（下图中的A与B）
在这里插入图片描述
然后我们可以发现最优解一定在左下的凸包上。凸包求法如下：
每次找到离直线 $A B$ 距离最远的点 $C$ ，那么这个点一定在凸包上。然后我们可以继续递归求解 $A C$ 和 $B C$ 两个部分了。
对于 $C$ 点，一定是使得三角形 $A B C$ 面积最大的点，可以通过叉积计算。把叉积的式子展开后可以通过修改边的权值求一个最小生成树把 $C$ 求出。具体可以看这里

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=2e2+10;
const int maxm=1e4+10;
const int oo=6e4+10;
int n,m,fa[maxn];
struct Edge{int u,v,c,t,w;}e[maxm];
struct Point{
	int x,y;
	Point(int X=0,int Y=0){x=X,y=Y;}
	friend inline Point operator+(const Point &a,const Point &b){return Point(a.x+b.x,a.y+b.y);}
	friend inline Point operator-(const Point &a,const Point &b){return Point(a.x-b.x,a.y-b.y);}
	friend inline int cross(const Point &a,const Point &b){return a.x*b.y-a.y*b.x;}
	friend inline ll f(const Point &a){return (ll)a.x*a.y;}
}ans(oo,oo);
inline bool cmp(const Edge &a,const Edge &b){return a.w<b.w;}
inline int read(){
	int x=0;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
	while(isdigit(ch)) x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
	return x;
}
inline int getfa(int x){return fa[x]==x?x:fa[x]=getfa(fa[fa[x]]);}
inline Point Kruscal(int cnt=0){
	Point ret=(0,0);sort(e+1,e+m+1,cmp);
	for(int i=0;i<n;++i) fa[i]=i;
	for(int i=1;i<=m;++i){
		int U=getfa(e[i].u),V=getfa(e[i].v);
		if(U==V) continue;
		fa[U]=V,ret=ret+Point(e[i].c,e[i].t),++cnt;
		if(cnt==n-1) break;
	}if((f(ans)>f(ret))||(f(ans)==f(ret)&&ans.x>ret.x)) ans=ret;
	return ret;
}
inline void work(Point L,Point R){
	for(int i=1;i<=m;++i) e[i].w=e[i].c*(L.y-R.y)+e[i].t*(R.x-L.x);
	Point M=Kruscal();
	if(cross(R-L,M-L)>=0) return;
	work(L,M),work(M,R);
}
int main(){
	//freopen("3778.in","r",stdin);
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=m;++i) e[i]=(Edge){read(),read(),read(),read()};
	for(int i=1;i<=m;++i) e[i].w=e[i].c;Point C_min=Kruscal();
	for(int i=1;i<=m;++i) e[i].w=e[i].t;Point T_min=Kruscal();
	work(C_min,T_min);printf("%d %d\n",ans.x,ans.y);
}