Tarjan三大算法之双连通分量（割点，桥）

Robert Endre Tarjan是一个美国计算机学家，他传奇的一生中发明了无数算法，统称为Tarjan算法。其中最著名的有三个，分别用来求解
1) 无向图的双连通分量
2) 有向图的强连通分量
3) 最近公共祖先问题
接下来几篇博客将分别讲述三个算法，首先是无向图的双连通分量，我们先从无向图的割点和桥讲起。

下面介绍中无向图中割点和桥的概念：
割点：一个结点称为割点（或者割顶）当且仅当去掉该节点极其相关的边之后的子图不连通。
桥：一条边称为桥（或者割边）当且仅当去掉该边之后的子图不连通。
割点：
首先我们考虑一个连通图（非连通图可以分别考虑连通块），我们从任意一个起点开始进行深度优先搜索，可以得到一棵树，并且这棵树中所有结点的子树之间不存在边，即没有跨越两棵子树的边（考虑一下，如果存在，那么与深度优先搜索树的定义互相矛盾）。于是有如下定理：
在无向连通图G中，
1、根结点u为割顶当且仅当它有两个或者多个子结点；
2、非根结点u为割顶当且仅当u存在结点v，使得v极其所有后代都没有反向边可以连回u的祖先（u不算）
在Tarjan算法里面，有两个时间戳非常重要，一个是dfn，意为深度优先数，即代表访问顺序；一个是low，意为通过反向边能到达的最小dfn。于是，上述定理中第二个条件（非根结点）可以简单地写成low[v]>=dfn[u]。
代码如下：

int n,m,stamp,low[1005],dfn[1005],iscut[1005];
vector<int> vec[1005];
void tarjan(int index,int fa){
    int child=0;
    low[index]=dfn[index]=++stamp;
    for(int i=0;i<vec[index].size();i++)
    {
        int tmp=vec[index][i];
        if(!dfn[tmp])
        {
            child++;
            tarjan(tmp,index);
            low[index]=min(low[index],low[tmp]);
            if(low[tmp]>=dfn[index])
                iscut[index]=1;
        }
        else if(dfn[tmp]<dfn[index] && tmp!=fa)
        {
            low[index]=min(low[index],dfn[tmp]);
        }
    }
    if(fa<0 && child==1)
        iscut[index]=0;
}

桥：
桥的求法其实也是类似的，它的求法可以看成是割顶的一种特殊情况，当结点u的子结点v的后代通过反向边只能连回v，那么删除这条边(u, v)就可以使得图G非连通了。用Tarjan算法里面的时间戳表示这个条件，就是low[v]>dfn[u]。
代码如下：

int n,stamp,dfn[1005],low[1005];
int cnt,ansx[10005],ansy[10005];
vector<int> vec[1005];
int rank[1005];
void addAns(int x,int y)
{
    if(x>y)
        swap(x,y);
    ansx[cnt]=x, ansy[cnt]=y;
    cnt++;
}
void tarjan(int index,int fa)
{
    int tmp;
    dfn[index]=low[index]=++stamp;
    for(int i=0;i<vec[index].size();i++)
    {
        tmp=vec[index][i];
        if(!dfn[tmp])
        {
            tarjan(tmp,index);
            low[index]=min(low[index],low[tmp]);
            if(low[tmp]>dfn[index])
                addAns(index,tmp);
        }
        else if(dfn[tmp]<dfn[index] && tmp!=fa)
        {
            low[index]=min(low[index],dfn[tmp]);
        }
    }
}